信号与系统笔记(随堂版)

第一章

1.1绪言

1. ‘系统’：是由相互制约又相互作用的个体所组成的具有一定功能的整体

2. 输入信号/激励：施加于系统的信号，可以用$ e(t) \ f(t)$表示

3. 输出信号/响应：系统产生的信号

4. 系统的功能体现：什么样的信号产生什么样的响应

1.2信号的描述及分类

1.2.1 信号的描述

1. 信号可以用一个变量或者多个变量的函数来表示。
   1.自变量：时间、空间、频率或者其他量纲的变量
   2.因变量：各种物理量或者数量，其可以代表不同物理形态的数学函数或函数的值

   

2. 时间特性：以时间$t$为自变量，信号可以代表为$t$的函数,用时间$f(t),y(t)$等表征,信号也可以描绘成随时间变化的波形图.信号在莫一时刻的大小、信号持续时间的长短、信号变化的快慢都可以在波形图上反映出来

3. 非时间特性：类空间特征，例如像素图

4. 频率特征：信号在一定条件下可以分解为不同频率的正弦分量之和，正弦分量的振幅和初相位之间的关系叫做频率特征

1.2.2 信号的分类

信号的分类：

1. 根据信号是否确切

$$ 信号=\begin{cases} 随机信号 & 信号不确切 = \begin{cases}连续信号 & 时间自变量连续 \离散信号 & 时间自变量离散\end{cases} \ 确定信号 & 信号确定 \end{cases}$$

确定信号: 信号可以写出一个确定的时间函数表达式,对于每一个时刻$t$都有确定的函数值与其对应

随机信号:不能写出确定的时间表达式,只能用概率统计的方法来描述 , 即只能预测该信号在某一时刻的概率 , 而该时刻信号的值是未知的

随机信号在一定条件下可以近似表示为某种确定信号

2. 根据信号的时间自变量是否连续

$信号 = \begin{cases}连续信号 & 时间自变量连续 = \begin{cases} 模拟信号 & 信号(函数值)也连续 \ 非模拟信号 & 信号(函数值)不连续 \end{cases} \离散信号 & 时间自变量离散\end{cases} $

连续信号 : 除有限个间断点以外 , 一个信号在任意时刻均有定义值( 允许函数值跳变 )

离散信号 : 只有在一系列离散的瞬间有确切定义而在其他时刻无定义的信号

取样信号 : 时间离散而函数值连续的 , 其幅值可能有无限多个值,不便编成数字码 .

离散信号和连续信号的转换

​ 采样：连续信号—>离散信号

​ 量化：离散信号——>数字信号

1. 根据信号时间域的定义范围

   $信号= \begin{cases}时限信号 &时间域有始有终\有终信号&时间域无始有终\有始信号&时间域有始无终= \begin{cases}因果信号 & 时间是从t=0开始(0,+无穷) \ 反因果信号 & 因果信号的反折(-无穷,0)\end{cases} \ 无时限信号 & 时间域无始无终 \end{cases}$

2. 根据信号的周期性

   $信号 = \begin{cases}(连续)周期信号 & 按一定时间周期T周而复始重复出现的&&时间域无始无终的信号\ 非周期信号 & 不具备以上两个条件\end{cases}$

周期信号相加是否为周期信号的判断方法

判断条件:两个信号周期的最小公倍数存在就是周期函数,周期为最小公倍数,否则不存在

5. 根据能量是否有界

   $信号 = \begin{cases} 能量信号 & 平均功率为0&&总能量为有限制 \ 功率信号 & 平均功率为有限值 &&总能量无限大 \ 非功非能信号 &平均功率无限大&& 总能量无限大\end{cases}$

   

   1. 信号 f(t) 能量和功率的计算

      

6. 根据方程是否是复数

   $信号 = \begin{cases}实信号 & 信号方程是实数方程 \ 复信号 & 信号方程是复数方程\end{cases}$

1.3典型信号

1.3.1 典型连续信号

复指数信号

$$f(t)=Ae^{st} = Ae^{\sigma+j\omega t} =Ae^{\sigma}e^{^{j\omega t}}=Ae^{\sigma t}cos\omega t +jAe^{\sigma t}sin\omega t$$

$j\omega t$为复数，称为复频率

$\omega,\sigma$为实数

$\omega=0$为实指数信号

$\sigma=0$为虚指数信号

1. 实指数信号

   $f(t)=Ae^σt$

   

   单边衰减指数信号

   $$f(t)=\begin{cases}0&t<0\Ae^σt&t≥0)\end{cases}$$

2. 正弦信号

   $f(t)=A cos⁡( ωt+ϕ)$

   

3. 变幅正弦振荡信号
   $f(t)=Ae^{σt} cos⁡ωt$

$f_r (t)=Re⁡[ Ae^st]=Ae^σt cos⁡ω t $

$f_i (t)=Im⁡[ Ae^st]=Ae^σt sin⁡ω t $

1. σ＜0：按指数规律衰减的正弦振荡信号；

   

2. σ＞0：按指数规律增长的正弦振荡信号；

   

   抽样信号

   $f(t)=Sa(t)= \frac{sin(t)}{t}$

   

   性质：

   $$1. Sa⁡(-t)=Sa⁡(t)，偶函数
   \2. t=0,Sa⁡( t)=1，即即 lim┬(t→0)⁡ Sa⁡( t
   \3. Sa⁡( t)=0, t=±nπ，n=1,2,3⋯
   \4. ∫0^∞〖sin⁡t/t d⁡t=π/2, 〗 ∫(-∞)^∞〖sin⁡t/t d⁡t=π〗
   \5. lim┬(t→±∞)⁡Sa⁡( t)=0
   \6. sinc⁡( t)=sin⁡π t/πt$$

   高斯脉冲信号（钟形脉冲信号）

   

   脉冲宽度：当f(t)下降到最大值0.78A时，所对应的两个截止时刻时间的时间范围。常见题型及解题方法

   奇异函数

   单位斜变信号

   

   有延迟的单位斜变信号

   

   l 截平斜变信号

   

   l 锯齿形脉冲信号

   

   

   l 正三角脉冲信号

   

   单位阶跃函数（重点）

   

   

1.功率信号、能量信号、非功非能信号的判断

​ 判断依据

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​ 计算方法

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